高等数学作为陕西统招专升本的核心科目，公式是解题的根基、得分的关键。为助力各位学子高效复习、精准掌握考点，为大家精心整理了陕西专升本数学全模块高频、常用公式，覆盖函数、极限、微分、积分、微分方程、级数等全部考试内容，方便大家随时查阅、记忆、运用。

　　一、基本代数与初等函数公式

　　1. 乘法与因式分解

　　平方差：a2−b2=(a+b)(a−b)

　　完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b2

　　立方和 / 差：a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)

　　2. 指数运算(a>0,a=1)

　　am⋅an=am+n;anam=am−n

　　(am)n=amn;(ab)n=anbn

　　a0=1;a−n=an1

　　3. 对数运算(a>0,a=1,M>0,N>0)

　　loga(MN)=logaM+logaN

　　logaNM=logaM−logaN

　　logaMn=nlogaM;logaa=1，loga1=0

　　自然对数：lnM=logeM(e≈2.71828)

　　4. 三角函数基本关系

　　平方关系：sin2x+cos2x=1;1+tan2x=sec2x

　　商数关系：tanx=cosxsinx;cotx=sinxcosx

　　倒数关系：sinx⋅cscx=1;cosx⋅secx=1;tanx⋅cotx=1

　　5. 三角恒等变换

　　二倍角：sin2x=2sinxcosx;cos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x

　　降幂：sin2x=21−cos2x;cos2x=21+cos2x

　　二、函数、极限与连续公式

　　1. 两个重要极限

　　x→0limxsinx=1

　　x→∞lim(1+x1)x=e;x→0lim(1+x)x1=e

　　2. 等价无穷小(x→0)

　　sinx∼x;tanx∼x;arcsinx∼x;arctanx∼x

　　ex−1∼x;ln(1+x)∼x;1−cosx∼21x2

　　3. 连续性判定

　　x→x0limf(x)=f(x0)(极限值 = 函数值)

　　三、一元函数微分学公式

　　1. 基本求导公式

　　(C)′=0(C为常数);(xμ)′=μxμ−1

　　(ax)′=axlna;(ex)′=ex

　　(logax)′=xlna1;(lnx)′=x1

　　(sinx)′=cosx;(cosx)′=−sinx

　　(tanx)′=sec2x;(cotx)′=−csc2x

　　(secx)′=secxtanx;(cscx)′=−cscxcotx

　　(arcsinx)′=1−x21;(arccosx)′=−1−x21

　　(arctanx)′=1+x21;(arccot x)′=−1+x21

　　2. 求导法则

　　四则：(u±v)′=u′±v′;(uv)′=u′v+uv′;(vu)′=v2u′v−uv′(v=0)

　　复合：y=f(u),u=φ(x)⟹yx′=f′(u)⋅φ′(x)

　　3. 微分公式

　　dy=f′(x)dx;d(u±v)=du±dv;d(uv)=vdu+udv

　　4. 中值定理

　　罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)⟹∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=0

　　拉格朗日中值定理：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

　　洛必达法则：00或∞∞型，limg(x)f(x)=limg′(x)f′(x)

　　四、一元函数积分学公式

　　1. 基本不定积分公式

　　∫0dx=C;∫xμdx=μ+1xμ+1+C(μ=−1)

　　∫x1dx=ln∣x∣+C;∫exdx=ex+C

　　∫sinxdx=−cosx+C;∫cosxdx=sinx+C

　　∫sec2xdx=tanx+C;∫csc2xdx=−cotx+C

　　∫1−x21dx=arcsinx+C;∫1+x21dx=arctanx+C

　　2. 积分法则

　　换元积分：∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du(u=φ(x))

　　分部积分：∫udv=uv−∫vdu

　　3. 定积分性质

　　∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx

　　∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx(k为常数)

　　∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx;∫aaf(x)dx=0

　　4. 牛顿 - 莱布尼茨公式

　　∫abf(x)dx=F(b)−F(a)(F′(x)=f(x))

　　五、多元函数微积分(二元)

　　1. 偏导数

　　一阶：∂x∂z=fx′(x,y);∂y∂z=fy′(x,y)

　　全微分：dz=∂x∂zdx+∂y∂zdy

　　2. 二重积分

　　直角坐标：∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy

　　极坐标：x=rcosθ,y=rsinθ，dσ=rdrdθ

　　x→0limxsinx=1

　　x→∞lim(1+x1)x=e;x→0lim(1+x)x1=e

　　六、常微分分离公式

　　1. 一阶微分方程

　　可分离变量：dxdy=f(x)g(y)⟹∫g(y)dy=∫f(x)dx

　　一阶线性：y′+P(x)y=Q(x)，通解y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

　　2. 二阶常系数线性齐次

　　y′′+py′+qy=0(p,q常数)

　　特征方程r2+pr+q=0

　　两不等实根r1=r2：y=C1er1x+C2er2x

　　两相等实根r1=r2=r：y=(C1+C2x)erx

　　共轭复根r=α±iβ：y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

　　七、无穷级数公式

　　1. 等比级数(几何级数)

　　n=0∑∞aqn：∣q∣<1收敛(和1−qa);∣q∣≥1发散

　　2. p- 级数

　　n=1∑∞np1：p>1收敛;p≤1发散

　　3. 幂级数展开式

ex=n=0∑∞n!xn(x∈R)

　　sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1(x∈R)

　　cosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n(x∈R)

　　ln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n−1xn(−1

　　八、向量代数与空间解析几何

　　1.向量运算

　　数量积：a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=axbx+ayby+azbz

　　向量积：∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ

　　2. 平面与直线方程

　　平面：Ax+By+Cz+D=0(法向量n=(A,B,C))

　　直线：mx−x0=ny−y0=pz−z0(方向向量s=(m,n,p))